Secciones Cónicas: Paramétrica y compleja

Ecuacion de la hiperbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$ , en el plano $Re Im\,$ ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias $|z-w_1|-|z-w_2|\,$ , a dos puntos fijos llamados focos $w_1\,$ y $w_2\,$ , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda: $|z-w_1|-|z-w_2|=2l\,$

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$\begin{matrix} x = a\sec t + h \\ y = b\tan t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = \pm a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$\begin{matrix} x = a\tan t + h \\ y = b\sec t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = a\sinh t + h \\ y = \pm b\cosh t + k \\ \end{matrix}$

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

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miércoles, 15 de mayo de 2013

Paramétrica y compleja

Ecuacion de la hiperbola en su forma compleja

Ecuaciones paramétricas

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